Algèbre linéaire Exemples

det

[\begin{array}{c} 5 & 3 & 5 \\ 1 & 7 & 8 \\ 9 & 4 & 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 5 & 3 & 5 \\ 1 & 7 & 8 \\ 9 & 4 & 2 \end{array}]$

Étape 1

Choisissez la ligne ou la colonne avec le plus d’éléments

0

$0$ . S’il n’y a aucun élément

0

$0$ , choisissez la ligne ou la colonne que vous voulez. Multipliez chaque élément de la ligne

1

$1$ par son cofacteur et ajoutez.

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Étape 1.1

Utilisez le tableau de signes correspondant.

| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position

-

$-$ sur le tableau de signes.

Étape 1.3

Le mineur pour

a_{11}

$a_{11}$ est le déterminant dont la ligne

1

$1$ et la colonne

1

$1$ sont supprimées.

| \begin{array}{c} 7 & 8 \\ 4 & 2 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 7 & 8 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Étape 1.4

Multipliez l’élément

a_{11}

$a_{11}$ par son cofacteur.

5 | \begin{array}{c} 7 & 8 \\ 4 & 2 \end{array} |

$5 | \begin{array}{c} 7 & 8 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5

Le mineur pour

a_{12}

$a_{12}$ est le déterminant dont la ligne

1

$1$ et la colonne

2

$2$ sont supprimées.

| \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} |$

Étape 1.6

Multipliez l’élément

a_{12}

$a_{12}$ par son cofacteur.

- 3 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} |

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} |$

Étape 1.7

Le mineur pour

a_{13}

$a_{13}$ est le déterminant dont la ligne

1

$1$ et la colonne

3

$3$ sont supprimées.

| \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

Étape 1.8

Multipliez l’élément

a_{13}

$a_{13}$ par son cofacteur.

5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |

$5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

Étape 1.9

Additionnez les termes entre eux.

5 | \begin{array}{c} 7 & 8 \\ 4 & 2 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |

$5 | \begin{array}{c} 7 & 8 \\ 4 & 2 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

5 | \begin{array}{c} 7 & 8 \\ 4 & 2 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |

$5 | \begin{array}{c} 7 & 8 \\ 4 & 2 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

Étape 2

Évaluez

| \begin{array}{c} 7 & 8 \\ 4 & 2 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 7 & 8 \\ 4 & 2 \end{array} |$ .

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

5 (7 \cdot 2 - 4 \cdot 8) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |

$5 (7 \cdot 2 - 4 \cdot 8) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez

7

$7$ par

2

$2$ .

5 (14 - 4 \cdot 8) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |

$5 (14 - 4 \cdot 8) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

Étape 2.2.1.2

Multipliez

- 4

$- 4$ par

8

$8$ .

5 (14 - 32) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |

$5 (14 - 32) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

5 (14 - 32) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |

$5 (14 - 32) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

Étape 2.2.2

Soustrayez

32

$32$ de

14

$14$ .

5 \cdot - 18 - 3 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |

$5 \cdot - 18 - 3 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

5 \cdot - 18 - 3 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |

$5 \cdot - 18 - 3 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

5 \cdot - 18 - 3 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |

$5 \cdot - 18 - 3 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

Étape 3

Évaluez

| \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} |$ .

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Étape 3.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

5 \cdot - 18 - 3 (1 \cdot 2 - 9 \cdot 8) + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |

$5 \cdot - 18 - 3 (1 \cdot 2 - 9 \cdot 8) + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

Étape 3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez

2

$2$ par

1

$1$ .

5 \cdot - 18 - 3 (2 - 9 \cdot 8) + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |

$5 \cdot - 18 - 3 (2 - 9 \cdot 8) + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

Étape 3.2.1.2

Multipliez

- 9

$- 9$ par

8

$8$ .

5 \cdot - 18 - 3 (2 - 72) + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |

$5 \cdot - 18 - 3 (2 - 72) + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

5 \cdot - 18 - 3 (2 - 72) + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |

$5 \cdot - 18 - 3 (2 - 72) + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

Étape 3.2.2

Soustrayez

72

$72$ de

2

$2$ .

5 \cdot - 18 - 3 \cdot - 70 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |

$5 \cdot - 18 - 3 \cdot - 70 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

5 \cdot - 18 - 3 \cdot - 70 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |

$5 \cdot - 18 - 3 \cdot - 70 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

5 \cdot - 18 - 3 \cdot - 70 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |

$5 \cdot - 18 - 3 \cdot - 70 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

Étape 4

Évaluez

| \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

5 \cdot - 18 - 3 \cdot - 70 + 5 (1 \cdot 4 - 9 \cdot 7)

$5 \cdot - 18 - 3 \cdot - 70 + 5 (1 \cdot 4 - 9 \cdot 7)$

Étape 4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez

4

$4$ par

1

$1$ .

5 \cdot - 18 - 3 \cdot - 70 + 5 (4 - 9 \cdot 7)

$5 \cdot - 18 - 3 \cdot - 70 + 5 (4 - 9 \cdot 7)$

Étape 4.2.1.2

Multipliez

- 9

$- 9$ par

7

$7$ .

5 \cdot - 18 - 3 \cdot - 70 + 5 (4 - 63)

$5 \cdot - 18 - 3 \cdot - 70 + 5 (4 - 63)$

5 \cdot - 18 - 3 \cdot - 70 + 5 (4 - 63)

$5 \cdot - 18 - 3 \cdot - 70 + 5 (4 - 63)$

Étape 4.2.2

Soustrayez

63

$63$ de

4

$4$ .

5 \cdot - 18 - 3 \cdot - 70 + 5 \cdot - 59

$5 \cdot - 18 - 3 \cdot - 70 + 5 \cdot - 59$

5 \cdot - 18 - 3 \cdot - 70 + 5 \cdot - 59

$5 \cdot - 18 - 3 \cdot - 70 + 5 \cdot - 59$

5 \cdot - 18 - 3 \cdot - 70 + 5 \cdot - 59

$5 \cdot - 18 - 3 \cdot - 70 + 5 \cdot - 59$

Étape 5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Multipliez

5

$5$ par

- 18

$- 18$ .

- 90 - 3 \cdot - 70 + 5 \cdot - 59

$- 90 - 3 \cdot - 70 + 5 \cdot - 59$

Étape 5.1.2

Multipliez

- 3

$- 3$ par

- 70

$- 70$ .

- 90 + 210 + 5 \cdot - 59

$- 90 + 210 + 5 \cdot - 59$

Étape 5.1.3

Multipliez

5

$5$ par

- 59

$- 59$ .

- 90 + 210 - 295

$- 90 + 210 - 295$

- 90 + 210 - 295

$- 90 + 210 - 295$

Étape 5.2

Additionnez

- 90

$- 90$ et

210

$210$ .

120 - 295

$120 - 295$

Étape 5.3

Soustrayez

295

$295$ de

120

$120$ .

- 175

$- 175$

- 175

$- 175$